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男性差別、ときどき、世界への反逆。

この世界についての非主流的な意見と、男性差別についての考えをすこし。

0.999…は、本当に1か?

0.9999…と、小数点以下に9が無限につづく数は

1である、と、数学ではそのように考えるらしい。

その証明方法は、いろいろある。

たとえば、X=0.99999…とする。

この式の両辺を10倍すると、10X=9.99999…

になる。

最初の式と2番目の式の辺々をそれぞれひくと、

9X=9になる。よって、X=1。

ゆえに、0.999…=1である、と。

 

ウィキペディアにも、これについての記事がある。

0.999…が1と等しくなるのは、

直観に反するかもしれないが、数学的には真実である、

と述べられている。

その理由の一つにあげられているのは、一般人は、

0.9999…のその先のどこかに、

「最後の9」が存在するだろう、と考えるのかもしれないが、

そんなものはなく、実際には無限に9が続くのだ、

ということである。

 

だが、ほんとうにそうなのだろうか。

自分は数学の門外漢であって、高校数学までしか学習したことは

ないのだが、このことについて考えてみたい。

 

1という数字がある。

この数字のうち、10分の9を確保すると、0.9という数字が

できる。確保した残りは、0.1だ。

つぎに、残りの0.1のうち、やはり10分の9だけ確保して、

それを最初の0.9にくっつけると、0.99になる。

この作業によってあらたに生まれる残りは、0.01だ。

さらに、残りの0.01のうち、10分の9だけを確保して、

それをあらかじめつくっておいた0.99にくっつけると、

0.999になる。

この作業によってあらたに生まれる残りは、0.001だ。

 

0.999999…という数字は、小数点以下に9が無限に

続いている、ということなのだが、ここでは、

その数字がどういう数字なのか、ということを総体的に考えるのではなく、

どういう作業の繰り返しによってこの数字はうまれてくるのか、

ということを考えてみよう。

先にみたように、小数点以下に9をひとつ増やそうと思ったら、

「残っている部分の10分の9を確保して、それを最初に確保

しておいた部分にくっつける」という作業(作業R)をしてやればいい。

0.9999999…という数字は、小数点以下に9が無限個くっついて

いる。

ということは、作業Rを無限回繰り返した、ということになりそうだ。

 

ところが、である。

作業Rは、あくまで10分の9だけ確保して、それをもとの部分に

くっつける、という作業にすぎないのだ。

その量は、10分の9を超えない。

いいかえれば、10分の9しか、あらたに確保することはできないのだ。

それが、作業Rである。

つまり、作業Rを1回おこなうと、かならず、10分の1という

「残り」が生じる。

数学者はいうかもしれない、いやいや、10分の1などという残りは

生じないよ、残りが生じようとした段階で、すかさず、あらたに

10分の9は奪われるんだから、と。

 

べつにかまわないよ。

10分の9はうばわれる。それも、永遠に。

それはたしかに真実だ。

しかし、10分の1が残り続ける、各段階で。

それも真実だ。

0.999…は、なんとかして、のこりをゼロにしよう

と奮闘するのだ。10分の9を奪い続ける、という作業を無限に

繰り返すことで。

しかし、この作業を何千回、何万回、何億回、何兆回、無限回

繰り返したところで、相手をゼロにしきることはできないだろう。

だって、その作業は、10分の9を奪う、ってだけなんだから。

1回でも、10分の10を奪う、っていう段階が、どこかの作業に

存在すればべつだよ。でも、ちがうよね。